如何打通联赛体系-联赛选择

1.读完<初等数论>是否可以应付-高中数学联赛数论题-(潘承洞潘承彪所著)

2.CBA联赛需要向NBA学习，未来会增加常规赛的比赛场次吗？

3.全国实用英语含金量高吗

4.植物大战僵尸2超z联赛为什么打不了了

5.初中数学联赛试题提供2006—2009

读完<初等数论>是否可以应付-高中数学联赛数论题-(潘承洞潘承彪所著)

每年的二试题都不一样，是不是有严格的数论题也不一定（当年我就没遇到一个看着是数论题的东西），况且你读的书里面可能有些还是集训队，冬令营，甚至更往上才可能考到的方面，联赛考到的纯数论知识不会太复杂。如果你真的对数论知之甚解的话，联赛是完全没问题的。

CBA联赛需要向NBA学习，未来会增加常规赛的比赛场次吗？

答案是肯定的。其实国内的CBA一直在寻求改革，只不过改革的成果不是很明显。姚明的改革理念也一直在整个CBA上寻求着发挥的余地。只是暂时还看不出来。

未来五个赛季，CBA不会扩军，维持20支球队的规模。虽然球队数量不变，但常规赛整体比赛轮次和场次将有所变化。2017-18赛季常规赛轮次不变，2018-19赛季和2019-20赛季扩大到46轮，2020-21和2021-22赛季增加至56轮。另外，比赛安排也有所变化。下赛季两周五赛，2018-19赛季一周三赛，2019-20赛季改成三周八赛。相比以往每周三、五、日比赛的惯例，未来五个赛季CBA除了周一没有比赛，其他时间都会安排比赛。

2019-2020赛季，比赛密度改为三周八赛，常规赛46轮，赛制与2018-2019赛季相同，于2019年10月26开始至2020年5月12日结束，这个赛季期间没有世界杯窗口期，但如果中国男篮不能在2019年世界杯比赛中拿到直接晋级东京奥运会的资格，则需要在这一周期中参加奥运会落选赛。

对于篮协来说，任何一个想改革的掌门人首先要面对的是球队和球员的双重压力。另外一方面，更改赛程之后，随之增加的篮协的运营成本，其他相关的商务合作的调整等等。这是牵一发而动全身的决定，没有相当的决心和魄力，是无法推行下去的。现在的篮协掌门人信主任已经到了退休的节点，在这个节骨眼上，是万不会有这么大刀阔斧的改革。而未来的篮协掌门人是谁，暂无定论，他有没有打破陈规的勇气，这更是一个未知数。

全国实用英语含金量高吗

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英语的发展：

英语已经发展了1400多年。英语的最早形式是由盎格鲁-撒克逊人移民于5世纪带到英国的一组西日耳曼语支（Ingvaeonic）方言，被统称为古英语。中古英语始于11世纪末，诺曼征服英格兰；1476年，威廉·卡克斯顿将印刷机介绍给英国，并开始在伦敦出版第一本印刷书籍，扩大了英语的影响力。自17世纪以来，现代英语在英国和美国的广泛影响下在世界各地传播。通过各类这些国家的印刷和电子媒体，英语已成为国际主导语言之一，在许多地区和专业的环境下的语言也有主导地位，例如科学、导航和法律。

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植物大战僵尸2超z联赛为什么打不了了

植物大战僵尸2超z联赛打不了的原因是每个赛季的最后一周为结算周，期间闭赛，下一周全部掉钢铁。

《植物大战僵尸2》是由美国宝开游戏公司联合美国艺电公司开发的一款益智策略类塔防御战游戏，于2013年7月18日发行。游戏继承了宝开版本的游戏理念，战场则转换到各个时空中，如神秘埃及、海盗港湾、狂野西部等。游戏加入了大量道具，提升了趣味性。

中文版1.1.0版本更新后代替金手指的强力道具，点击后会消耗15颗钻石，接着屏幕上所有目标暂时凝滞，黄瓜从天而降，伴随一声震动对全屏造成4000伤害。

游戏玩法

多数常规关卡里会出现各种通身闪着绿光的僵尸，将其击杀后会掉落叶绿素并在场上任意漂浮，10秒后自动消失，被玩家触及时自动存储在屏幕左下方的能量槽中。将叶绿素喂给植物，便能让植物发动强力技能，期间还可免疫僵尸的多种伤害并恢复初始耐久值，部分一次性植物无法吸收叶绿素。

每张地图的主线关卡全部打通后，会开启本地图的“三星模式”，可在之前已打通的主线关卡里收集星星。进入关卡时会显示三颗星星的获得条件，只要能达成这些条件并顺利过关，即可获得星星。

初中数学联赛试题提供2006—2009

2008年全国初中数学联赛

2008年4月13日上午8：30—9：30

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式 + 的值为（ ）

（A）5 （B）7 （C）9 （D）11

2、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（ ）

（A） （B）4 （C） （D）

3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）

（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定

5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）

（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）

6、已知实数x，y满足( x – ) ( y – ) = 2008，

则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）

（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1、设a = ，则 = 。

2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM = ，∠MAN = 135°，则四边形AMCN的面积为 。

3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 。

4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 。

答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。

解答：一、1、由题设条件可知a 2 – 3 a + 1 = 0，b 2 – 3 b + 1 = 0，且a ≠ b，

所以a，b是一元二次方程x 2 – 3 x + 1 = 0的两根，故a + b = 3，a b = 1，

因此 + = = = = 7；

2、因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，

于是△AEF∽△ABC，故 = = ，即cos∠BAC = ，所以sin∠BAC = 。

在Rt△ABE中，BE = AB sin∠BAC = 6 × = ；

3、能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是 = ；

4、∵∠ABC = 12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC = ( 180° – 12° ) = 84°，

又∠BCM = 180° –∠ACB = 180° – 132° = 48°，∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°，∴BM = BC，又∠ACN = ( 180° –∠ACB ) = ( 180° – 132° ) = 24°，∴∠BNC = 180° –∠ABC –∠BCN = 180° – 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC，∴CN = CB，因此，BM = BC = CN；

5、容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。

设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以

表示为a ? ( 1 – 10% ) k ? ( 1 – 20% ) n – k = a ? ( ) k ? ( ) n – k，其中k为自然数，且0 ≤ k ≤ n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a ? ( ) i ? ( ) n – i，a ? ( ) i + 1 ? ( ) n – i – 1，a ? ( ) i + 2 ? ( ) n – i – 2，a ? ( ) i + 3 ? ( ) n – i – 3，a ? ( ) i + 4 ? ( ) n – i – 4，

其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为 = ( ) 4；

6、∵( x – ) ( y – ) = 2008，∴x – = =

y + ，y – = = x + ，

由以上两式可得x = y， 所以( x – ) 2 = 2008，解得x 2 = 2008，

所以3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1；

二、1、∵a 2 = ( ) 2 = = 1 – a，∴a 2 + a = 1，∴原式=

= = = – = – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2；

2、设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO = OB = ，MO = = ，

∴MB = MO – OB = 。又∠ABM =∠NDA = 135°，

∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135° – 90° –∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB，

所以△ADN∽△MBA，故 = ，从而DN = ? BA = × 1 = ，根据对称性可知，

四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN = 2 × × MN × AO = 2 × × ( + + ) × = ；

3、根据题意，m，n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0的两根，所以m + n = – a，m n = b。

∵| m | + | n | ≤ 1，∴| m + n | ≤ | m | + | n | ≤ 1，| m – n | ≤ | m | + | n | ≤ 1。

∵方程x 2 + a x + b = 0的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0，∴b ≤ = ≤ 。

4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1，故b ≥ – ，等号当m = – n = 时取得；4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1，故b ≤ ，等号当m = n = 时取得。所以p = ，q = – ，于是| p | + | q | = ；

4、1 2到3 2，结果都只各占1个数位，共占1 × 3 = 3个数位；4 2到9 2，结果都只各占2个数位，共占2 × 6 = 12个数位；10 2到31 2，结果都只各占3个数位，共占3 × 22 = 66个数位；32 2到99 2，结果都只各占4个数位，共占4 × 68 = 272个数位；100 2到316 2，结果都只各占5个数位，共占5 × 217 = 1085个数位；此时还差2008 – ( 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) = 570个数位。317 2到411 2，结果都只各占6个数位，共占6 × 95 = 570个数位。所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是411 2的个位数字，即为1；

2008年全国初中数学联赛

2008年4月13日上午10：00—11：30

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x，不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值。

解：整理不等式（1）并将a 2 + b 2 = 1代入，得( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2），

在（2）中，令x = 0，得a ≥ 0；令x = 1，得b ≥ 0。易知1 + a + b > 0，0 < < 1，

故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立，所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0，即a b ≥ 。由方程组 （3）

消去b，得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 = 或a 2 = 。又因为a ≥ 0，

所以a 1 = 或a 2 = ，于是b 1 = 或b 2 = 。所以a b的最小值为 ，此时a，b的值分别为a = ，b = 和a = ，b = 。

二、（本题满分25分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB = BC。

（1）证明：点O在圆D的圆周上；

（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。

解：（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB = BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA =∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB = 90° –∠OBA = 90° –∠OBC =∠DBO，所以DB = DO，因此点O在圆D的圆周上；

（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC = 2 y（0 < y ≤ a），OE = x，AB = l，则a 2 = x 2 + y 2，S = y ( a + x )，

l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) = 。

因为∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO，AB = BC，DB = DO，所以△BDO∽△ABC，

所以 = ，即 = ，故r = ，所以r 2 = = ? = ? ( ) 3 ≥ ，即r ≥ ，其中等号当a = y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为 。

三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1）

求a，b的值。

解：（1）式即( ) 2 = ，设m = ，n = ，则n = m 2，

b = = （2），故3 n – 511 m + 6 a = 0，所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3），由（1）式可知，( 2 a + b ) 2能被质数509整除，于是2 a + b能被509整除，故m为整数，

即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。

不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数），则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t )，

由于511 + t和511 – t的奇偶性相同，且511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况：

① ，② ，③ ，④ ，两式相加分别得

36 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解；

⑤ ，⑥ ，两式相加分别得4 a + 18 = 1022，解得a = 251；

2 a + 36 = 1022，解得a = 493，而493 = 17 × 29不是质数，故舍去。综合可知a = 251。

此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）。

把a = 251，m = 3代入（2）式，得b = = 7。

第二试 （B）

一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件x + y = 1，x y ≥ 0的一切实数对( x，y )，不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 （1）恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值。

解：由x + y = 1，x y ≥ 0可知0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1。在（1）式中，令x = 0，y = 1，得a ≥ 0；令x = 1，y = 0，得b ≥ 0。将y = 1 – x代入（1）式，得a ( 1 – x ) 2 – x ( 1 – x ) + b x 2 ≥ 0，

即( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2），易知1 + a + b > 0，0 < < 1，

故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立，

所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0，即a b ≥ 。由方程组 （3）消去b，得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 = 或a 2 = 。又因为a ≥ 0，

所以a 1 = 或a 2 = ，于是b 1 = 或b 2 = 。所以a b的最小值为 ，此时a，b的值分别为a = ，b = 和a = ，b = 。

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同。

三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同。

第二试 （C）

一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同。

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同。

三、（本题满分25分）设a为质数，b，c为正整数，且满足 ，求a ( b + c )的值。

解：（1）式即( ) 2 = ，设m = ，n = ，则2 b – c = = （3），故3 n – 511 m + 6 a = 0，又n = m 2，

所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （4），由（1）式可知，( 2 a + 2 b – c ) 2能被509整除，

而509是质数，于是2 a + 2 b – c能被509整除，故m为整数，

即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。

不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数），则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t )，

由于511 + t和511 – t的奇偶性相同，且511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况：

① ，② ，③ ，④ ，两式相加分别得

36 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解；

⑤ ，⑥ ，两式相加分别得4 a + 18 = 1022，解得a = 251；

2 a + 36 = 1022，解得a = 493，而493 = 17 × 29不是质数，故舍去。综合可知a = 251。

此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）。

把a = 251，m = 3代入（3）式，得2 b – c = = 7，即c = 2 b – 7，代入（2）式得b – ( 2 b – 7 ) = 2，所以b = 5，c = 3，因此a ( b + c ) = 251 × ( 5 + 3 ) = 2008。